Derivadas parciales

Como primera parte de la evaluación debe resolver calcular las derivadas parciales que se le indiquen

$f(x,y)=4x^2-5xy+2y^2$; $f_{xx},\ f_{xy},\ f_{yy}$.
$g(x,y)=e^{3x^2y^5+1}$; $g_x$ y $g_y$.
$h(x,y,z)=(x+y-z)ln(4x^6y^7z^3)$; $h_x$, $h_y$ y $h_z$.

from sympy import * 
from sympy.plotting import *
init_printing(use_latex=True)

x = symbols("x")
y = symbols("y")

Derivadas parciales¶

Como antes el comando diff será de gran ayuda en la parte computacional, ya que permite calcular derivadas parciales de funciones de doc variables. Por ejemplo si

$$f(x,y)=x^2+y^3$$

para hallar $f_x$ y $f_y$ basta con digitar el siguinte código

f=x**2+y**3

dfx=diff(f,x)
dfx

/home/nbuser/anaconda3_501/lib/python3.6/site-packages/matplotlib/font_manager.py:229: UserWarning: Matplotlib is building the font cache using fc-list. This may take a moment.
  'Matplotlib is building the font cache using fc-list. '

$$2 x$$

dfy=diff(f,y)
dfy

$$3 y^{2}$$

Recordemos que la manera en la que se evalúan las funciones de dos variables es la siguiente:

z1=dfx.subs([(x,1),(y,2)])
z1

$$2$$

z2=dfy.subs([(x,1),(y,2)])
z2

$$12$$

Ejercicio¶

Cree una función que calcule las primeras derivadas de una función de 2 variables, la cual depende de las variables $x$ y $y$, y las evalúe en un punto dado, como también a la función.

Ejercicio¶

La función de producción de cierta empresa está dada por $$P=5L + 3L^2 + 4LK + 8K + 6K^2$$ en donde $L$ es el insumo mano de obra medido en miles de horas-hombre por semana, $K$ es el monto de capital invertido medido en miles de dólares por semana y P es la producción semanal en miles de artículos. Determine las productividades marginales cuando $L=10$ y $K=15$ e interprete el resultado.

Relaciones de demanda¶

Productos competitivos y complementarios¶

Ejemplo¶

Suponga que hay dos marcas de celulares, marca A y marca B, las cuales son las líderes a nivel mundial en celulares de alta gama.

¿Qué sucede con la demanda de la marca A, si ella aumenta el precio de sus celulares?

R: La demanda debería disminuir. Lo mismo ocurriría para la marca B.

Este hecho se puede entender matemáticamente como que la derivada de la demanda de A respecto al precio de A es negativa, lo mismo para el producto de la marca B: $$\frac{\partial X_A}{\partial P_A}<0;\ \ \ \frac{\partial X_B}{\partial P_B}<0$$ Esto es normal que suceda con cualquier producto.

¿Qué sucede con la demanda de la marca A si B aumenta su precio?

R: La demanda de A debería aumentar cuando B aumente su precio. De manera análoga sucedería con la demanda de B si A aumenta su precio.

$$\frac{\partial X_A}{\partial P_B}>0;\ \ \ \frac{\partial X_B}{\partial P_A}>0$$

Cuando esto sucede se dice que los productos son COMPETITIVOS.

Ejemplo¶

Suponga que se tienen dos productos, A el cual es un celular y B el forro protector del mismo.

¿Qué sucede con la demanda de los forros si el precio del celular aumenta?

R: Al aumentar el precio de A su demanda disminuye por lo tanto la demanda de B disminuye, es decir $$\frac{\partial X_A}{\partial P_B}<0;\ \ \ \frac{\partial X_B}{\partial P_A}<0$$ Cuando esto sucede los productos se dicen COMPLEMENTARIOS

Ejercicio¶

Las demandas $x_A$ y $x_B$ de los productos $A$ y $B$ están dadas por las funciones $$x_A= 300 + 5p_B - 7p_A^2;\ \ \ x_B = 250 - 9p_B + 2p_A$$ en donde $p_A$ y $p_B$ son los precios unitarios de $A$ y $B$, respectivamente. Determine las cuatro funciones de demanda marginal e investigue si los productos $A$ y $B$ son competitivos o complementarios entre sí.

Elasticidad¶

La elasticidad de la demanda mide que tan sensible es un producto repecto al cambio en el precio.

Si la demanda del producto $A$ depende de los precios $P_A$ y $P_B$ ésta se puede derivar respecto a cualquiera de las los varibles, por lo que es posible calcular dos razones de cambio porcentuales:

Elasticidad de la demanda de A la cual se define como: $$\eta_{p_A}=\frac{\ \frac{\partial x_A}{\partial p_A}\ }{\frac{x_A}{p_A}}=\ \frac{\partial x_A}{\partial p_A}\frac{p_A}{x_A}$$
Elasticidad de la demanda cruzada de A la cual se puede ver como: $$\eta_{p_B}=\frac{\ \frac{\partial x_A}{\partial p_B}\ }{\frac{x_A}{p_B}}=\ \frac{\partial x_A}{\partial p_B}\frac{p_B}{x_A}$$

Cuando $|\eta_{p_A}|>1$ el producto se dice elástico, si $|\eta_{p_A}|<1$ se conoce como inelástico, mientras que $|\eta_{p_A}|=1$ la demanda se dice unitaria.

Por ejemplo, si $\eta_{p_A}=-3$ se interpreta como que un aumento del $1\%$ en el precio implica una caída del $3\%$ en las ventas del producto.

Ejercicio¶

La función de demanda del producto A está dada por $$x_A = 250 +0.3p_B - 5p^2_A$$

Determine $\eta_{p_A}$ y $\eta_{p_B}$ cuando $p_A = 6$ y $p_B = 50$.